Question

給出如下命題：
①若2

MP

+3

MQ

+5

MR

=

0

，則三點(diǎn)P，Q，R共線；
②若

MP

=

1

3

MQ

+

2

3

MR

，則三點(diǎn)P，Q，R共線；
③向量

a

，

b

不共線，則關(guān)于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

至多有一個(gè)實(shí)根；
④向量

a

，

b

不共線，則關(guān)于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一實(shí)根．
其中正確命題的序號(hào)是

②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)三點(diǎn)共線的向量判斷法，可以判斷①與②的真假，根據(jù)平面向量的基本定理，我們可得當(dāng)λ=-μ²時(shí)，則關(guān)于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

有一個(gè)實(shí)根，否則關(guān)于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

無實(shí)根，進(jìn)而判斷③的真假，若向量

a

，

b

不共線，則關(guān)于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一實(shí)根0，進(jìn)而判斷④的真假．

解答：解：若2

MP

+3

MQ

+5

MR

=

0

，
∴

MR

=-

3

5

MP

-

3

5

MQ

，由于-

2

5

-

3

5

=-1≠1，故P，Q，R三點(diǎn)不共線，故①錯(cuò)誤；
∵若

MP

=

1

3

MQ

+

2

3

MR

，由于

1

3

+

2

3

=1，可得三點(diǎn)P，Q，R共線，故②正確；
若向量

a

，

b

不共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ使

c

=λ

a

+μ

b

，
若λ=-μ²，則關(guān)于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

有一個(gè)實(shí)根，
若λ≠-μ²，則關(guān)于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

無實(shí)根，
故關(guān)于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

至多有一個(gè)實(shí)根，即③正確；
若向量

a

，

b

不共線，則關(guān)于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一實(shí)根0，故④正確；
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義，平面向量的基本定理及其意義，熟練掌握三點(diǎn)共線向量判定法及平面向量的基本定理是解答本題的關(guān)鍵．