Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）證明：f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）定義在R上的奇函數(shù)f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）時(shí)f（x）的解析式，x=-1和1時(shí)，同時(shí)結(jié)合奇偶性和單調(diào)性求解．
（2）證明單調(diào)性可用定義或?qū)��?shù)解決．

解答：（1）解當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在區(qū)間[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1     x∈(0，1) - 2x 4x+1      x∈(-1，0) 0               x∈{-1，0，1}

（2）證明當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，及函數(shù)單調(diào)性的證明，綜合性較強(qiáng)．