Question

已知以AB為直徑的半圓有一個(gè)內(nèi)接正方形CDEF，其邊長(zhǎng)為1（如圖）設(shè)AC=a，BC=b，作數(shù)列u₁=a-b，u₂=a²-ab+b²，u₃=a³-a²b+ab²-b³，…，u_k=a^k-a^k-1b+a^k-2b²-…+（-1）^kb^k；
求證：u_n=u_n-1+u_n-2（n≥3）．

Answer 1

分析：要證u_n=u_n-1+u_n-2（n≥3），利用題目中給出的信息先求出通項(xiàng)u_n，然后利用圓中直角三角形的幾何性質(zhì)建立u_n，u_n-1，u_n-2三者的關(guān)系，即可得證．

解答：證明：通項(xiàng)公式可寫(xiě)成
u_k=a^k-a^k-1b+a^k-2b²-+（-1）^kb^k=

ak+1-(-1)k+1bk+1

a+b

因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1，
ab=AC•BC=CD²=1．
故得un-2=

an-1-(-1)n-1bn-1

a+b

，n≥3
=ab

an-1-(-1)n-1bn-1

a+b

=

anb-(-1)n-1abn

a+b

，
un-1=

an-(-1)nbn

a+b

=(a-b)

an-(-1)nbn

a+b

=

an+1-anb-(-1)nabn-(-1)n+1bn+1

a+b

于是有un-1+un-2=

an+1-(-1)n+1bn+1

a+b

=un．n≥3

點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)中檔題，主要考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，以及證明等式的方法，在證明過(guò)程中注意幾何圖形的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．