Question

已知實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x₁，x₂為方程ax²+bx+c=0的兩個實數(shù)根，則的取值范圍為________．

Answer 1

[0.3）
分析：根據(jù)a+b+c=0可得方程ax²+bx+c=0必然有一個實數(shù)根為1，且 a＞0，c＜0，b的符號不確定，求出||的范圍，而|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=||•|x₁-x₂|=||•|1-x₂ |，從而可求出的取值范圍．
解答：由于 a＞b＞c，a+b+c=0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩實數(shù)根，
可得方程ax²+bx+c=0必然有一個實數(shù)根為1，且 a＞0，c＜0，b的符號不確定．
故有 a+2b＞0，1＞＞-，0≤||＜1．
不妨設(shè) x₁ =1，由根與系數(shù)的關(guān)系可得 1+x₂=-，x₂=＜0，且對稱軸為 x=-∈（-，）．
由|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=||•|x₁-x₂|=||•|1-x₂ |可得，
當(dāng)||=0時，|x₁²-x₂²|=||•|1-x₂ |的最小值等于0．
再由|1-x₂ |=2|1-（-）|=2|（1+）|≤2+||＜2+1=3，
故||•|1-x₂ |＜1×3=3．
故|x₁²-x₂²|的取值范圍為[0，3），
故答案為：[0，3）．
點評：本題主要考查了一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．