Question

如圖,P-ABC是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長(zhǎng)PA、PB、PC上的點(diǎn), 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺(tái)DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)和相等.（棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和）

（1）證明：P-ABC為正四面體；

（2）若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（3）設(shè)棱臺(tái)DEF-ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長(zhǎng)均相等的直平行六面體,

使得它與棱臺(tái)DEF-ABC有相同的棱長(zhǎng)和? 若存在,請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體,并給出證明；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

證明：（1） ∵棱臺(tái)DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)和相等,

   ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.   又∵截面DEF∥底面ABC,

   ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面體.

解：（2）取BC的中點(diǎn)M,連拉PM,DM.AM.

   ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

   則∠DMA為二面角D-BC-A的平面角.    由（1）知,P-ABC的各棱長(zhǎng)均為1,

   ∴PM=AM=,由D是PA的中點(diǎn),  得sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

（3）存在滿(mǎn)足條件的直平行六面體.  棱臺(tái)DEF-ABC的棱長(zhǎng)和為定值6,體積為V.

  設(shè)直平行六面體的棱長(zhǎng)均為,底面相鄰兩邊夾角為α,

  則該六面體棱長(zhǎng)和為6, 體積為sinα=V.

  ∵正四面體P-ABC的體積是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim（8V）

故構(gòu)造棱長(zhǎng)均為,底面相鄰兩邊夾角為arcsim（8V）的直平行六面體即滿(mǎn)足要求.