Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，△AOB的內(nèi)切圓為⊙M．
（1）如果⊙M半徑為1，l與⊙M切于點(diǎn)C(

3

2

，1+

3

2

)，求直線l的方程；
（2）如果⊙M半徑為1，證明當(dāng)△AOB的面積、周長最小時(shí)，此時(shí)△AOB為同一三角形；
（3）如果l的方程為x+y-2-

2

=0，P為⊙M上任一點(diǎn)，求PA²+PB²+PO²的最值．

Answer 1

分析：（1）先求得圓心與切點(diǎn)連線的斜率kMC=

3

再由兩者互為負(fù)倒數(shù)求得kl=-

3

3

．進(jìn)而求得直線l的方程；
（2）設(shè)A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），直線AB的方程為：：bx+ay-ab=0．圓心到該直線的距離為d=

|b+a-ab|

a2+b2

=1，整理得（a-2）（b-2）=2，有ab-2（a+b）+2=0，再由基本不等式得ab+2=2(a+b)≥4

ab

，
ab≥6+4

2

．三角形面積S=

1

2

ab≥3+2

2

，周長L=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=(2+

2

)

ab

≥(2+

2

)2=6+4

2

．取得最值的條件一致．所以△AOB為同一三角形．
（3）l的方程為x+y-2-

2

=0，解得A(2+

2

，0)，B(0，2+

2

)，P（m，n）為圓上任一點(diǎn)，PA2+PB2+PC2=3m2+3n2-(4+2

2

)(m+n)+2(2+

2

)2=(9+8

2

)-(2

2

-2)(m+n)．
又因?yàn)椋╩-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1，(m-1)2+(n-1)2=1≥

(m+n-2)2

2

，所以2-

2

≤m+n≤2+

2

代入上式求解即可．

解答：解：（1）kMC=

3

，（1分），kl=-

3

3

．l：y=-

3

3

x+

3

+1．
（2）設(shè)A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），
l：bx+ay-ab=0.d=

|b+a-ab|

a2+b2

=1，
（a-2）（b-2）=2，ab-2（a+b）+2=0，ab+2=2(a+b)≥4

ab

，

ab

≥2+

2

，（6分）
ab≥6+4

2

．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+

2

時(shí)，ab=6+4

2

．
面積S=

1

2

ab≥3+2

2

，
此時(shí)△AOB為直角邊長為2+

2

的等腰直角三角形．
周長L=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=(2+

2

)

ab

≥(2+

2

)2=6+4

2

．
此時(shí)△AOB為直角邊長為2+

2

的等腰直角三角形．
∴此時(shí)的△AOB為同一三角形．

（3）l的方程為x+y-2-

2

=0，得A(2+

2

，0)，B(0，2+

2

)，
⊙M：（x-1）²+（y-1）²=1，設(shè)P（m，n）為圓上任一點(diǎn)，
則：（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1，(m-1)2+(n-1)2=1≥

(m+n-2)2

2

，2-

2

≤m+n≤2+

2

．PA2+PB2+PC2=3m2+3n2-(4+2

2

)(m+n)+2(2+

2

)2=(9+8

2

)-(2

2

-2)(m+n)．
當(dāng)m+n=2-

2

時(shí)，(PA2+PB2+PO2)max=(9+8

2

)-(2

2

-2)(2-

2

)=17+2

2

．
此時(shí)，m=n=1-

2

2

．
當(dāng)m+n=2+

2

時(shí)，(PA2+PB2+PO2)min=(9+8

2

)-(2

2

-2)(2+

2

)=9+6

2

．
此時(shí)，m=n=1+

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，還考查了用解析法研究三角形面積，周長及線段長的最值問題，