Question

如圖，已知E、F為平面上的兩個定點|EF|=6，|FG|=10，且，（G為動點，P是HP和GF的交點）．
（Ⅰ）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蟪鳇cP的軌跡方程；
（Ⅱ）若點P的軌跡上存在兩個不同的點A、B，且線段AB的中垂線與直線EF相交于一點C，證明|OC|＜（O為EF的中點）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．由題設，，|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．由此能求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，0）．（x₁-x）²+y₁²=（x₂-x）²+y₂²．由A、B在軌跡上，知，．由此入手能夠證明|OC|＜．
解答：解：（Ⅰ）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．
由題設，，
∴|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．
∴點P是以E、F為焦點、長軸長為10的橢圓．
故點P的軌跡方程是．…（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，0）．
∴x₁≠x₂，且|CA|=|CB|，即（x₁-x）²+y₁²=（x₂-x）²+y₂²．
又A、B在軌跡上，∴，．
即，．
代入整理，得．
∵x₁≠x₂，∴．
∵-5≤x₁≤5，-5≤x₂≤5，∴-10≤x₁+x₂≤10．
∵x₁≠x₂，∴-10＜x₁+x₂＜10．
∴，即|OC|＜．…（13分）
點評：本題考查建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蟪鳇cP的軌跡方程，證明|OC|＜．解題時要認真審題，恰當?shù)亟�立平面直角坐標系，靈活運用圓錐曲線的性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．