Question

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別是，，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)滿足，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】

(1)本題首先可以根據(jù)橢圓定義以及的周長為得出，然后根據(jù)橢圓過點(diǎn)得出，最后聯(lián)立方程，即可得出結(jié)果；

(2)本題首先可根據(jù)題意求出的坐標(biāo)為并設(shè)出直線的方程為，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程并計(jì)算出、，再然后根據(jù)得出四邊形的面積為，最后通過化簡并利用不等式即可得出四邊形的面積的最大值。

（1）因?yàn)?/span>的周長為，所以，

因?yàn)闄E圓：過點(diǎn)，所以，

聯(lián)立方程，解得，，所以橢圓的方程為；

（2）由（1）可知，的坐標(biāo)為，由題意可知，顯然直線的斜率不為0，

設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立，得，

所以，，且恒成立，

因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以四邊形為平行四邊形，設(shè)其面積為，

則，

因?yàn)?/span>，所以，，

，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值4，

所以四邊形面積的最大值為4。