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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,灌溉渠的橫截面是等腰梯形,底寬2米,邊坡的長為x米、傾角為銳角α.
          (1)當(dāng)α=
          π3
          且灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時,求x的最小正整數(shù)值;
          (2)當(dāng)x=2時,試求灌溉渠的橫截面面積的最大值.
          分析:(1)根據(jù)題意可分別表示出梯形的高和上底長,進而可求得橫截面的面積的表達式,把α=
          π
          3
          代入S的解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性,進而推斷x=2和x=3時S的值,求得x的最小正整數(shù)值.
          (2)把x代入S的解析式中通過對S的函數(shù)進行求導(dǎo),判斷S的單調(diào)性進而推斷出S的最大值.
          解答:解:由已知得等腰梯形的高為xsinα,上底長為2+2xcosα,
          從而橫截面面積S=
          1
          2
          (2+2+2xcosα)•xsinα=x2sinαcosα+2xsinα.
          (1)當(dāng)α=
          π
          3
          時,面積S=
          3
          4
          x2+
          3
          x
          是(0,+∞)上的增函數(shù),
          當(dāng)x=2時,S=3
          3
          <8;當(dāng)x=3時,S=
          9
          3
          4
          +3
          3
          >8

          所以,灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時,x的最小正整數(shù)值是3.
          (2)當(dāng)x=2時,S=4sinαcosα+4sinα,S'=4cos2α-4sin2α+4cosα
          =4(2cos2α+cosα-1)=4(2cosα-1)•(cosα+1),
          由S′=0及α是銳角,
          α=
          π
          3
          .當(dāng)0<α<
          π
          3
          時,S′>0,S是增函數(shù);
          當(dāng)
          π
          3
          <α<
          π
          2
          時,S′<0,S是減函數(shù).所以,當(dāng)α=
          π
          3
          時,S有最大值3
          3

          綜上所述,灌溉渠的橫截面面積的最大值是3
          3
          點評:本題主要考查了在實際問題中建立三角函數(shù)模型.考查了考生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)當(dāng)且灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時,求x的最小正整數(shù)值;
          (2)當(dāng)x=2時,試求灌溉渠的橫截面面積的最大值.

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          (2)當(dāng)x=2時,試求灌溉渠的橫截面面積的最大值.

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          如圖,灌溉渠的橫截面是等腰梯形,底寬2米,邊坡的長為x米、傾角為銳角α.
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          如圖,灌溉渠的橫截面是等腰梯形,底寬2米,邊坡的長為x米、傾角為銳角α.
          (1)當(dāng)且灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時,求x的最小正整數(shù)值;
          (2)當(dāng)x=2時,試求灌溉渠的橫截面面積的最大值.

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