Question

已知函數y＝f(x)的定義域為R，對任意實數m、n都滿足f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且f(－)＝0，當x＞－時，f(x)＞0． (1) 證明：f(x)是增函數 (2) 解不等式1＋f≤f(1)＋f(ax)(a＞0)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：設x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f［(x2－x1)＋x1］－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－l－f(x1)＝f(x2－x1)－1＝f［(x2－x1)－］． 　　∵x2－x1－＞－，∴f(x2－x1－)＞0． 　　∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)是增函數．
(2)	已知1＋f≤f(1)＋f(ax)，即f≤f(1)＋f(ax)－1＝f(1＋ax)． 　　∵f(x)是增函數，∴＋≤1＋ax． 　　又≥1，∴1≤1＋ax，即ax≥0(a＞0)． 　　∴有 　　∴當0＜a＜1時，解集為［0，］；當a≥1時，解集為［0，＋∞］． 　　點評：這是一個抽象函數，要證明它在R上為增函數，我們可直接利用單調性的定義去證明，關鍵是如何運用條件f(－)＝0且當x＞－時f(x)＞0．在解決第(2)題時，我們如何使“變量”從函數符號中“脫穎而出”，此時利用增函數的性質是解決問題的關鍵