Question

在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）設平面PAB∩平面PCD=m，求證：CD∥m；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）設點Q為線段PB上一點，且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用平行四邊形的性質和平行線的傳遞性即可找出兩個平面的交線并且證明結論；
（Ⅱ）利用已知條件先證明BD⊥AC，再利用線面垂直的性質定理和判定定理即可證明；
（Ⅲ）通過結論空間直角坐標系，利用法向量與斜線所成的角即可找出Q點的位置．
解答：解：（Ⅰ）如圖所示，過點B作BM∥PA，并且取BM=PA，連接PM，CM．
∴四邊形PABM為平行四邊形，∴PM∥AB，
∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM為平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．
（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得
BD==，AC=．
∵AB∥DC，∴，
∴，．
∴OD²+OC²==4=CD²，
∴OC⊥OD，即BD⊥AC；
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），
B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．
∴，
設，則Q（4λ，0，4-4λ），∴．
，由（2）可知為平面PAC的法向量．
∴==，
∵直線QC與平面PAC所成角的正弦值為，
∴=，
化為12λ=7，解得．
∴=．
點評：熟練掌握平行四邊形的性質、平行線的傳遞性、線面垂直的性質定理和判定定理及法向量與斜線所成的角是解題的關鍵．