Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x2﹣3x+1， ，（A≠0）
（1）當0≤x≤ 時，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若對任意的x1∈[0，3]，總存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求實數(shù)A的取值范圍；
（3）問a取何值時，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

【答案】
（1）解：y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1設t=sinx，x ，則0≤t≤1

∴

∴當t=0時，ymax=1

（2）解：當x1∈[0，3]∴f（x1）值域為

當x2∈[0，3]時，則 有

② 當A＞0時，g（x2）值域為

②當A＜0時，g（x2）值域為

而依據(jù)題意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集

則 或

∴A≥10或A≤﹣20

（3）解：2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解

換t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情況如下：

① 當在（﹣1，1）上只有一個解或相等解，x有兩解（5﹣a）（1﹣a）≤0或△=0

∴a∈[1，5]或

②當t=﹣1時，x有惟一解

③當t=1時，x有惟一解

故a∈（1，5）∪{ }

【解析】（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1設t=sinx，由x 可得0≤t≤1，從而可得關于 t的函數(shù) ，結合二次函數(shù)的性質可求（2）依據(jù)題意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求 A的取值范圍，可先求f（x1）值域，然后分①當A＞0時，g（x2）值域②當A＜0時，g（x2）值域，建立關于 A的不等式可求A 的范圍．（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解令t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情況可結合兩函數(shù)圖象的交點情況討論．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質和三角函數(shù)的最值，掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；函數(shù)，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，即可以解答此題．