Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的值；

（3）若存在，使得，試求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：，由于所以故函數(shù)在上單調(diào)遞增（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）

由于，故當(dāng)時(shí)，，所以，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增-----------------------------------4分

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032708364901562691/SYS201303270837316562933257_DA.files/image012.png">，且在R上單調(diào)遞增，

故有唯一解

所以的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

又函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程有三個(gè)根，

而，所以，解得 -----------8分

（3）因?yàn)榇嬖?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032708364901562691/SYS201303270837316562933257_DA.files/image022.png">，使得，

所以當(dāng)時(shí)，

由（Ⅱ）知，在上遞減，在上遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，

而，

記，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032708364901562691/SYS201303270837316562933257_DA.files/image031.png">（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

所以在上單調(diào)遞增，而，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

也就是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，由，

②當(dāng)時(shí)，由，

綜上知，所求的取值范圍為------------------12分

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性零點(diǎn)及最值

點(diǎn)評(píng)：將函數(shù)零點(diǎn)問題不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值