Question

已知動點P（x，y）到點F（0，1）與到直線y=-1的距離相等，
（1）求點P的軌跡L的方程；
（2） 若正方形ABCD的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲線L上，設BC的斜率為k，l=|BC|，求l關于k的函數(shù)解析式l=f（k）；
（3）求（2）中正方形ABCD面積S的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義得到點P的軌跡是拋物線；利用拋物線的方程寫出軌跡方程．
（2）利用直線方程的點斜式設出直線AB，BC，將兩直線方程分別于拋物線聯(lián)立；利用韋達定理及弦長公式表示出AB，BC；由正方形的邊長相等，得到斜率與坐標的關系，代入BC中，得到函數(shù)解析式l=f（k）．
（3）求面積的最小值即求BC的最小值，利用基本不等式求出正方形邊長的最小值．

解答：解：（1）由題設可得動點P的軌跡方程為x²=4y．（4分）
（2）由（1），可設直線BC的方程為：y=k(x-x2)+

x 2 2

4

（k＞0），

y=k(x-x2)+ x 2 2 4 x2=4y

，
易知x₂、x₃為該方程的兩個根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
從而得|BC|=

1+k2

(x3-x2)=2

1+k2

(2k-x2)（6分）
類似地，可設直線AB的方程為：y=-

1

k

(x-x2)+

x 2 2

4

，
從而得|AB|=

2 1+k2

k2

(2+kx2)，（8分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得x2=

2(k3-1)

k2+k

，l=f(k)=

4 1+k2 (k2+1)

k(k+1)

（k＞0）．（10分）
（3）因為l=f(k)=

4 1+k2 (k2+1)

k(k+1)

≥

4• (1+k)2 2 •2k

k(k+1)

=4

2

，（12分）
所以S=l²≥32，即S的最小值為32，
當且僅當k=1時取得最小值．（14分）

點評：本題考查求曲線軌跡方程的常用方法：定義法；考查直線與圓錐曲線的位置關系常用的處理方法是將方程聯(lián)立用韋達定理，考查直線與圓錐曲線相交得到的弦長公式；利用基本不等式求函數(shù)最值需滿足：一正、二定、三相等．