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        1. 已知直線l:X-y+1=0,⊙O:x2+y2=2上的任意一點P到直線l的距離為d.當(dāng)d取得最大時對應(yīng)P的坐標(biāo)(m,n),設(shè)g(x)=mx+
          n
          x
          -2lnx.
          (1)求證:當(dāng)x≥1,g(x)≥0恒成立;
          (2)討論關(guān)于x的方程:mx+
          n
          x
          -g(x)=2x3-4ex2+tx
          根的個數(shù).
          分析:首先(1)求證函數(shù)恒成立的問題,可以根據(jù)求導(dǎo)函數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性,求得最值,然后直接求得結(jié)果.
          (2)討論關(guān)于x的方程根的個數(shù)可以求導(dǎo)函數(shù),然后判斷其單調(diào)性后,分段討論在各個區(qū)間根的情況.
          解答:解:(1)由題意得P(1,-1),
          ∴m=1,n=-1∴g(x)=mx+
          n
          x
          -2lnx=x-
          1
          x
          -2lnx

          g′(x)=1+
          1
          x2
          -
          2
          x
          =
          x2-2x+1
          x2
          =
          (x-1)2
          x2
          ≥0

          ∴g(x)在[1,+∞)是單調(diào)增函數(shù),
          ∴g(x)≥g(1)=1-1-2ln1=0對于x∈[1,+∞)恒成立.
          (2)方程mx+
          n
          x
          -g(x)=2x3-4ex2+tx

          ∴2lnx=2x3-4ex2+tx
          ∵x>0,∴方程為
          2lnx
          x
          =2x2-4ex+t

          L(x)=
          2lnx
          x
          ,H(x)=2x2-4ex+t,
          L′(x)=2
          1-lnx
          x2
          ,當(dāng)x∈(0,e)時,L′(x)≥0,
          ∴L′(x)在(0,e]上為增函數(shù);x∈[e,+∞)時,L′(x)≤0,
          ∴L′(x)在[0,e)上為減函數(shù),
          當(dāng)x=e時,L(x)max=L(e)=
          2
          e

          H(x)=2x2-4ex+t=2(x-e)2+t-2e2,
          ∴可以分析①當(dāng)t-2e2
          2
          e
          ,即t>2e2+
          2
          e
          時,方程無解.
          ②當(dāng)t-2e2=
          2
          e
          ,即t=2e2+
          2
          e
          時,方程有一個根.
          ③當(dāng)t-2e2
          2
          e
          ,即t<2e2+
          2
          e
          時,方程有兩個根.
          點評:此題主要考查函數(shù)恒成立的問題的證明及根存在性及根個數(shù)的判斷問題,其中應(yīng)用到用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性極值的思想,有一定的計算量,屬于綜合性試題.
          練習(xí)冊系列答案
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          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1 
          (a>b>0),過其左焦點F1(-1,0)斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點.
          (Ⅰ)若
          OP
          +
          OQ
          a
          =(-3,1)共線,求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)已知直線l:x+y-
          1
          2
          =0,在l上求一點M,使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長,求點M的坐標(biāo)和此雙曲線E的方程.

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          同步練習(xí)冊答案