Question

已知函數(shù)f(x)=lg

2x

ax+b

，且f（1）=0，當(dāng)x＞0時，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）正確運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．通過代數(shù)式恒等列出關(guān)于a，b的方程進而確定出函數(shù)的解析式；
（2）將方程進行等價轉(zhuǎn)化是解決本小題的關(guān)鍵．利用一元二次方程的知識以及函數(shù)的定義域確定出關(guān)于實數(shù)m的不等式組．

解答：解：（1）、∵f（1）=0，∴

2

a+b

=1①．
∵當(dāng)x＞0時，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx．
∴lg

2x

ax+b

-lg

2 x

a x +b

=lgx，即lg

2x

ax+b

-lg

2

a+bx

=lgx，所以lg(

2x

ax+b

•

a+bx

2

)=lg

x(a+bx)

ax+b

=lgx，
所以得到

ax+bx2

ax+b

=x，即

a+bx

ax+b

=1，所以a+bx=ax+b，整理得（a-b）（x-1）=0，根據(jù)多項式恒等得出a=b，根據(jù)①解出a=b=1，從而函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=lg

2x

x+1

．
（2）方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集?lg

2x

x+1

=lg(m+x)的解集是空集
?

2x x+1 ＞0 m+x＞0 2x x+1 =m+x

的解集為空集，即

x＞0或x＜-1 x＞-m x2+(m-1)x+m=0

的解集為空．
可以對m的取值進行討論：令g（x）=x²+（m-1）x+m
①當(dāng)m＞0時，g（0）=m＞0，g（-1）=2＞0，可以判斷出上不等式組無解，故合題意；
②當(dāng)m=0時，由于x²-x=0得出x=0或x=1，可知x=1適合原方程，故m=0不合題意；
③當(dāng)m＜0時，g（-m）=2m＜0，可以確定原方程在定義域中有解，故不合題意．
綜上，使得方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，實數(shù)m的取值范圍是（0，+∞）．

點評：本小題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)的運算等知識點，考查了對數(shù)問題的隱含條件----定義域的認(rèn)識和理解，考查了二次方程根的有無問題，利用數(shù)形結(jié)合思想可以實現(xiàn)正確轉(zhuǎn)化與求解．