Question

已知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足f（4）=1，對(duì)任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（1）；              
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1，可得f（1）的值；
（2）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），結(jié)合x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0．及增函數(shù)的定義可證得結(jié)論
（3）令x1=x2=4，可得f（16）=2，x1=4，x2=16，可得f（64）=3，結(jié)合f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），及（2）中函數(shù)的單調(diào)性，可將不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式組．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用

解答：解：（1）∵對(duì)任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，
f（1•1）=f（1）+f（1），
則f（1）=0（2分）
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵對(duì)任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜

x1

x2

＜1，又當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1

x2

)＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)（7分）
（3）令x₁=x₂=4，則f（16）=f（4）+f（4）=2，
令x₁=4，x₂=16，則f（64）=f（4）+f（16）=3（9分）
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）
結(jié)合f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）恒成立
∴

3x+1＞0 2x-6＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

∴x∈（3，5]（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性證明，以及賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題，在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法以及賦值法等知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．