Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2-(+1)a_n(n≥1)．

（1）求證：數列{}是等比數列；

（2）設數列{2ⁿa_n}的前n項和為T_n，A_n=.試比較A_n與的大小。

Answer 1

_解：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=，　　　　　　 　　 　　　　　　　1分

由S_n=2-(+1)a_n得S_n-1=2-(+1)a_n-1，

于是a_n=S_n- S_n-1=(+1)a_n-1-(+1)a_n，

整理得 =×（n≥2）,　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

所以數列{}是首項及公比均為的等比數列.　　　　　　　　　　　 5分

（2）由（Ⅰ）得=×=.　 　　　　　　　　　　　　 6分

于是 2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=，　　　　 　　　　　　　　　7分

_，

A_n=2[（1-）+（-）+…+=2（1-）=.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　9分

又=,問題轉化為比較與的大小,即與的大小.

設f(n)= ，g(n)= .

∵f(n+1)-f(n)=，當n≥3時, f(n+1)-f(n)>0,

∴當n≥3時f(n)單調遞增，　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　11分

∴當n≥4時，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)<1, ∴當n≥4時f(n) >g(n)，

經檢驗n=1,2,3時，仍有f(n) ≥g(n)，

因此，對任意正整數n，都有f(n) >g(n),

即A_n <.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分