Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，點P（2，3）、A、B在該橢圓上，線段AB的中點T在直線OP上，且A、O、B三點不共線．
（I）求橢圓的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

a2-b2 a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1

，由此能導出橢圓的方程．設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

x2 16 + y2 12 =1 y=kx+t

，得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，由根的判別式能夠?qū)С鲋本�AB的斜率．
（II）設(shè)直線AB的方程為y=-

1

2

x+t，即x+2y-2t=0，由

y=- 1 2 x+t x2 16 + y2 12 =1.

得x²-tx+t²-12=0，由根的判別式和點到直線距離公式能夠?qū)С觥鱌AB面積的最大值．

解答：解：（I）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則

a2-b2 a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1

，得a²=16，b²=12．
所以橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…（3分）
設(shè)直線AB的方程為y=kx+t（依題意可知直線的斜率存在），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

x2 16 + y2 12 =1 y=kx+t

，
得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，由△＞0，得b²＜12+16k²，

x1+x2=- 8kt 3+4k2 x1x2= 4t2-48 3+4k2

，設(shè)T（x₀，y₀）x0=-

4kt

3+4k2

，y0=

3t

3+4k2

，易知x₀≠0，
由OT與OP斜率相等可得

y0

x0

=

3

2

，即k=-

1

2

，
所以橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1，直線AB的斜率為-

1

2

．…（6分）
（II）設(shè)直線AB的方程為y=-

1

2

x+t，即x+2y-2t=0，
由

y=- 1 2 x+t x2 16 + y2 12 =1.

得x²-tx+t²-12=0，△=t²-4（t²-12）＞0，-4＜t＜4．…（8分）

x1+x2=t x1•x2=t2-12.

.|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 (48-3t2)

=

15

2

16-t2

．
點P到直線AB的距離為d=

|8-2t|

5

．
于是△PAB的面積為S△PAB=

1

2

•

|8-2t|

5

•

15

2

•

16-t2

=

1

2

(4-t)3•(12+3t)

…（10分）
設(shè)f（t）=（4-t）³（12+3t），f'（t）=-12（t-4）²（t+2），其中-4＜t＜4．
在區(qū)間（-2，4）內(nèi)，f'（t）＜0，f（t）是減函數(shù)；在區(qū)間（-4，-2）內(nèi)，f'（t）＞0，f（t）是增函數(shù)．
所以f（t）的最大值為f（-2）=6⁴．于是S_△PAB的最大值為18．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程及直線AB的斜率，求△PAB面積的最大值．解題時要認真審題，注意根的判別式和點到直線距離公式的靈活運用．