Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)， ，若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的最小值；

（2）若的圖像關(guān)于對(duì)稱，且時(shí)， ，求當(dāng)時(shí)， 的解析式；

（3）當(dāng)時(shí)， .若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的最小值為 ;(2) (3) .

【解析】試題分析：（1）取最小值時(shí)，m,n為函數(shù)在上最大值與最小值，先求函數(shù)在上最值，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得在上最大值與最小值，（2）先根據(jù)函數(shù)兩個(gè)對(duì)稱性（一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，一個(gè)關(guān)于對(duì)稱）推導(dǎo)出函數(shù)周期，根據(jù)周期性只需求出解析式，根據(jù)關(guān)于對(duì)稱，只需求出上解析式，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)根據(jù)解析式可得上解析式，（3）先根據(jù)函數(shù)解析式得到，轉(zhuǎn)化不等式為，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得，最后根據(jù)不等式恒成立，利用變量分離法求實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1），當(dāng)時(shí)， .

，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，

， .

所以， ， 的最小值為.

（2）由為奇函數(shù)，得；又的圖像關(guān)于對(duì)稱，得；∴即∴

當(dāng)， ；

當(dāng)， ；

又，當(dāng)時(shí)，

（3）易知， ；

， ；綜上，對(duì)任，

∴對(duì)任意的恒成立，又在上遞增，

∴，即對(duì)任意的恒成立.

∴∴