Question

（2011•泉州模擬）如圖所示，圓錐SO的軸截面△SAB是邊長為4的正三角形，M為母線SB的中點(diǎn)，過直線AM作平面β⊥面SAB，設(shè)β與圓錐側(cè)面的交線為橢圓C，則橢圓C的短半軸為（　　）

• A．

  2

• B．

  10

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：過C作平行于圓錐底面的截面（圓形），交AS、BS于R、T，交橢圓C于兩點(diǎn)P、Q，則P、Q即是橢圓短半軸頂點(diǎn)，先利用軸截面△SAB是邊長為4的正三角形，C為AM的中點(diǎn)，計(jì)算RC，TC的值，再利用相交弦定理即可求得．

解答：解：過橢圓C作平行于圓錐底面的截面（圓形），交AS、BS于R、T，交橢圓C于兩點(diǎn)P、Q，則P、Q即是橢圓短半軸頂點(diǎn)
在所作的圓中，RT為直徑，如圖，
∵軸截面△SAB是邊長為4的正三角形，C為AM的中點(diǎn)
∴TC=

1

2

AB=2，RC=

1

4

AB=1，
∵PQ⊥RT，∴PC=CQ
∴利用相交弦定理可得：PC×CQ=TC×RC
∴PC=

2

∴橢圓C的短半軸為

2

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓錐為載體，考查圓錐的截面問題，考查橢圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定橢圓短半軸頂點(diǎn)．