【題目】已知橢圓的左,右頂點分別為
右焦點為
,直線
是橢圓
在點
處的切線.設點
是橢圓
上異于
的動點,直線
與直線
的交點為
,且當
時,
是等腰三角形.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設橢圓的長軸長等于
,當點
運動時,試判斷以
為直徑的圓與直線
的位置關系,并加以證明.
【答案】(1)(2)以
為直徑的圓與直線
相切.
解:(Ⅰ)根據題意,得直線與
軸垂直,
當
時,
是等腰三角形.
(Ⅱ)以為直徑的圓與直線
的位置關系是相切,證明如下:
橢圓C的長軸長等于
,
根據(Ⅰ),得橢圓的標準方程為: ,
設直線的方程為:
,
則點坐標為
,
中點
的坐標為
,
聯立方程組,消去
,并整理,得
,
設點的坐標為
,則
因為點,
(ⅰ)當時,點
坐標為
,直線
的方程為
,
點的坐標為
,此時,以
為直徑的圓與直線
相切;
(ⅱ)當時,直線
的斜率為
,
直線的方程為:
,
,
點
到直線
的距離為
,
,
以
為直徑的圓與直線
相切.
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據題意,結合給定的條件,得到,然后確定其離心率即可;
(Ⅱ)設直線的方程為:
,則點
坐標為
,
中點
的坐標為
,
聯立方程組,消去
,并整理,得
,
分情況進行討論,結合直線與圓相切的條件進行判斷即可.
試題解析:(Ⅰ)根據題意,得直線與
軸垂直,
當
時,
是等腰三角形.
(Ⅱ)以為直徑的圓與直線
的位置關系是相切,證明如下:
橢圓C的長軸長等于
,
根據(Ⅰ),得橢圓的標準方程為: ,
設直線的方程為:
,
則點坐標為
,
中點
的坐標為
,
聯立方程組,消去
,并整理,得
,
設點的坐標為
,則
因為點,
(。┊時,點
坐標為
,直線
的方程為
,
點的坐標為
,此時,以
為直徑的圓與直線
相切;
(ⅱ)當時,直線
的斜率為
,
直線的方程為:
,
,
點
到直線
的距離為
,
,
以
為直徑的圓與直線
相切.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知圓.
(1)求圓心C的坐標及半徑r的大。
(2)已知不過原點的直線l與圓C相切,且在x軸、y軸上的截距相等,求直線l的方程;
(3)從圓外一點向圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且
,求點P的軌跡方程.
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【題目】扎比瓦卡是2018年俄羅斯世界杯足球賽吉祥物,該吉祥物以西伯利亞平原狼為藍本.扎比瓦卡,俄語意為“進球者”.某廠生產“扎比瓦卡”的固定成本為15000元,每生產一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元,根據初步測算,每個銷售價格滿足函數,其中x是“扎比瓦卡”的月產量(每月全部售完).
(1)將利潤表示為月產量
的函數;
(2)當月產量為何值時,該廠所獲利潤最大?最大利潤是多少?(總收益=總成本+利潤).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=4cosxsin(x)+a的最大值為2.
(1)求實數a的值;
(2)在給定的直角坐標系上作出函數f(x)在[0,π]上的圖象:
(3)求函數f(x)在[,
]上的零點,
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為
,離心率為
,過
的直線
與橢圓
交于
兩點,且
的周長為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點
,且與橢圓
交于
兩點,求
面積的最大值.
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【題目】四棱錐中,底面
是邊長為
的菱形,側面
底面
,
,
,
是
中點,點
在側棱
上.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若是
中點,求二面角
的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為4的菱形,∠BAD=60°,SA=SD=2,點E是棱AD的中點,點F在棱SC上,且
λ,SA//平面BEF.
(1)求實數λ的值;
(2)求三棱錐F﹣EBC的體積.
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