Question

設(shè)函數(shù)R），函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)記為f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的條件下，記，求證：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N^*）；
（3）設(shè)關(guān)于x的方程f'（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α、β，且1＜α＜β＜2．試問：是否存在正整數(shù)n₀，使得？說明理由．

Answer 1

解：（1）f'（x）=x²+ax+b，由已知可得a=-1，b=c=-3．…（4分）
（2），
當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；
當(dāng)n≥3時(shí)，．
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+…+
=（1++--- ）＜ （1++ ）=，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N^*）．…（9分）
（3）根據(jù)題設(shè)，可令f'（x）=（x-α）（x-β）．
∴f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=，
∴，或，所以存在n₀=1或2，使．…（13分）．
分析：（1）求出f'（x）=x²+ax+b，由 a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求出a=-1，b=c=-3．
（2）根據(jù)，F(xiàn)（1）和 F（2）都小于，且F（1）+F（2）=0，當(dāng)n≥3時(shí)，F(xiàn)（n）＜
（ ），用放縮法證明F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜…+＜．
（3）根據(jù) f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）=（α-1）（2-α）（β-1）（2-β ）≤=，可得，或，故存在n₀=1或2，
使．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，是一道難題．