Question

【題目】已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.

（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，證明時， .

Answer 1

【答案】(1) ;函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由題得，根據(jù)曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）得 根據(jù)由，整理得，

設(shè)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，即可作出證明.

試題解析：

（1）由題得，函數(shù)的定義域為， ，

因為曲線在點處的切線方程為，

所以解得.

令，得，

當時， ， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當時， ， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）得， .

由，得，即.

要證，需證，即證，

設(shè)，則要證，等價于證： .

令，則，

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， ,

即，故.