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          （1）如圖，設點P，Q是線段AB的三等分點，若
          OA
          =
          a
          ，
          OB
          =
          b
          ，試用
          a
          ，
          b
          表示
          OP
          ，
          OQ
          ，并判斷
          OP
          +
          OQ
          與
          OA
          +
          OB
          的關系；
          （2）受（1）的啟示，如果點A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）由三角形法則及向量共線的數(shù)乘表示，分別用向量 
          a
          、
          b
          表示出 
          OP
          ，
          OQ
          ，相加即得用向量 
          a
          、
          b
          表示 
          OP
          +
          OQ
          的表達式，進而判斷
          OP
          +
          OQ
          與
          OA
          +
          OB
          的關系；
          （2）受（1）的啟示，如果點A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分點，歸納得出猜想 
          OA1
          +
          OA2
          +…+
          OAn-1
          =
          n-1
          2
          (
          a
          +
          b
          )          ，再數(shù)學歸納法證明結論．
          解答：解：（1）如圖：點P、Q是線段AB的三等分點 
          OP
          =
          OA
          +
          AP
          =
          OA
          +
          1
          3
          (
          OB
          -
          OA
          )          ，
          則 
          OP
          =
          2
          3
          a
          +
          1
          3
          b
          ，同理 
          OQ
          =
          1
          3
          a
          +
          2
          3
          b
          ，（2分）
          所以 
          OP
          +
          OQ
          =
          a
          +
          b
          （4分）
          即：
          OP
          =
          2
          3
          a
          +
          1
          3
          b
          ，
          OQ
          =
          1
          3
          a
          +
          2
          3
          b
          ，
          OP
          +
          OQ
          =
          OA
          +
          OQ
          ，
          （2）設A1，A2．，…，An-1是AB的n等分點，
          則 
          OA1
          +
          OA2
          +…+
          OAn-1
          =
          n-1
          2
          (
          a
          +
          b
          )          ；
          證：A1，A2，，An-1是線段n≥2的 Sn-1=
          1
          4
          a
          2
          n
          +
          1
          2
          an-1+
          1
          4
          等分點，
          先證明：
          OAk
          +
          OAn-k
          =
          OA
          +
          OB
          （1≤k≤n-1，n、k∈N*）．
          由 
          OAk
          =
          OA
          +
          AAk
          ，
          OAn-k
          =
          OB
          +
          BAn-k
          ，
          因為 
          AAk
          和 
          BAn-k
          是相反向量，
          則 
          AAk
          +
          BAn-k
          =0          ，
          所以 
          OAk
          +
          OAn-k
          =
          OA
          +
          OB
          ．
          記 S=
          OA1
          +
          OA2
          +
          OA3
          +…+
          OAn-2
          +
          OAn-1
          ，
          S=
          OAn-1
          +
          OAn-2
          +…+
          OA2
          +
          OA1

          相加得 2S=(
          OA1
          +
          OAn-1
          )+(
          OA2
          +
          OAn-2
          )+…+(
          OAn-1
          +
          OA1
          )=(n-1)(
          OA
          +
          OB
          )
          ∴
          OA1
          +
          OA2
          +…+
          OAn-1
          =
          n-1
          2
          (
          a
          +
          b
          )          ．
          點評：本小題主要考查平行向量與共線向量、歸納推理、數(shù)學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網（1）如圖，設點P，Q是線段AB的三等分點，若
          OA
          =a          ，
          OB
          =b          ，試用a，b表示向量
          OP
          ，
          OQ
          ．
          （2）在（1）中，當點P，Q三等分線段AB中，有
          OP
          +
          OQ
          =
          OA
          +
          OB
          ．如果點A1，A2，…A&n是AB的n（n≥3）等分點，你能得出什么結論？請證明你的結論．
          （3）條件同（1）（2），試用試用a，b表示向量
          OAk
          （1≤k≤n）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖，設點P是橢圓E：
          x2
          4
          +y2=1          上的任意一點（異于左，右頂點A，B）．
          （1）若橢圓E的右焦點為F，上頂點為C，求以F為圓心且與直線AC相切的圓的半徑；
          （2）設直線PA，PB分別交直線l：x=
          10
          3
          與點M，N，求證：PN⊥BM．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：解答題
			
          

						
          （1）如圖，設點P，Q是線段AB的三等分點，若數(shù)學公式，數(shù)學公式，試用數(shù)學公式，數(shù)學公式表示數(shù)學公式，數(shù)學公式，并判斷數(shù)學公式與數(shù)學公式的關系；
          （2）受（1）的啟示，如果點A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2010年上海市上海中學高三數(shù)學綜合練習試卷（4）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          （1）如圖，設點P，Q是線段AB的三等分點，若，，試用，表示，，并判斷與的關系；
          （2）受（1）的啟示，如果點A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．

          

			
          

			
          
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