Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，2是a_n+2 和a_n的等比中項．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2S_n-4200＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由4，且a_n＞0． td 當(dāng)n=1時，4+2a₁，解得a₁=2．當(dāng)n≥2時，有4S_n-1=．于是4．故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．由此能證明數(shù)列{a_n}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，且a_n=2n．
（Ⅱ）因為a_n=2n，則，由此能夠證明++…+＜1．
（Ⅲ）由，得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．故M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．由此能夠求出集合M中滿足條件的正整數(shù)m的個數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）由已知，4，且a_n＞0． …（1分）
當(dāng)n=1時，4+2a₁，解得a₁=2．    …（2分）
當(dāng)n≥2時，有4S_n-1=．
于是4S_n-4S_n-1=，
即4．
于是，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
因為a_n+a_n-1＞0，
所以a_n-a_n-1=2，n≥2．
故數(shù)列{a_n}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，且a_n=2n．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為a_n=2n，
則，…（5分）
所以=（1-）+（）+…+（）
=1-．…（7分）
（Ⅲ）由，
得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．  …（9分）
由題設(shè)，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因為m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均滿足條件．…（10分）
且這些數(shù)組成首項為2100，公差為2的等差數(shù)列．
設(shè)這個等差數(shù)列共有k項，
則2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中滿足條件的正整數(shù)m共有450個． …（12分）
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，數(shù)列通項公式的求法，證明證明++…+＜1和求集合中元素的個數(shù)．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項求和法的合理運(yùn)用．