Question

已知函數(shù)f（x）=mx+xlnx，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x+2y=1垂直．
（1）求直線(xiàn)l的方程；
（2）若n（2x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞

1

2

恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍；
（3）當(dāng)b＞a＞1時(shí)，證明（ab^2b）ⁿ＞（ba^2a）^b．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x+2y=1垂直，求得m的值，從而可求直線(xiàn)l的方程；
（2）n（2x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞

1

2

恒成立，等價(jià)于n＜

x+xlnx

2x-1

對(duì)任意x＞

1

2

恒成立，求出右邊函數(shù)的最小值，即可得到實(shí)數(shù)n的取值范圍；
（3）由（2）知，g（x）=

x+xlnx

2x-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而可得當(dāng)b＞a＞1時(shí)，

b+blnb

2b-1

＞

a+alna

2a-1

，由此可得結(jié)論成立．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=m+lnx+1，
∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x+2y=1垂直．
∴f′（1）=m+1=2，∴m=1
∵f（1）=1，∴直線(xiàn)l的方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1；
（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
n（2x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞

1

2

恒成立，等價(jià)于n＜

x+xlnx

2x-1

對(duì)任意x＞

1

2

恒成立，
令g（x）=

x+xlnx

2x-1

，則g′（x）=

2x-lnx-2

(2x-1)2

令h（x）=2x=lnx-2（x＞

1

2

），則h′（x）=

2x-1

x

＞0
∴h（x）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增
∵h(yuǎn)（1）=0
∴當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，h（x）＜0，∴g′（x）＜0，
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）=

x+xlnx

2x-1

在（

1

2

，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）_min=g（1）=1
∴n＜1，即實(shí)數(shù)n的取值范圍是（-∞，1）
（3）證明：由（2）知，g（x）=

x+xlnx

2x-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴當(dāng)b＞a＞1時(shí)，

b+blnb

2b-1

＞

a+alna

2a-1

∴b（2a-1）（1+lnb（＞a（2b-1）（1+lna）
∴2ablnb+alna＞2ablna+blnb+（b-a）
∵b＞a，∴2ablnb+alna＞2ablna+blnb
∴l(xiāng)nb^2ab+lna^a＞lna^2ab+lnb^b
∴l(xiāng)n（b^2aba^a）＞ln（a^2abb^b）
∴（ab^2b）ⁿ＞（ba^2a）^b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值．