Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且：（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC
（1）若a=3，b=4，求|

CA

+

CB|

的值．
（2）若∠C=60°，△ABC面積為

3

．求

AB

•

AC

+

AC

•

CB

+

CB

•

AB

的值．

Answer 1

分析：直接利用兩角差的正弦函數(shù)以及正弦定理與余弦定理化簡(jiǎn)表達(dá)式，
（1）根據(jù)a=3，b=4，判斷三角形的形狀，然后求出|

CA

+

CB|

的值．
（2）利用（1）的結(jié)果，結(jié)合∠C=60°，則a²+b²-c²≠0，推出a=b．△ABC為等邊三角形，然后求出

AB

•

AC

+

AC

•

CB

+

CB

•

AB

的值．

解答：解：由已知有：(a2+b2)(a•

a2+c2-b2

2ac

-b•

b2+c2-a2

2bc

)=(a2-b2)•c
∴有：(a2+b2)•

2(a2-b2)

2c

=(a2-b2)•c
即：（a²-b²）（a²+b²-c²）=0．
（1）若a=3，b=4，則a≠b∴a²+b²=c²∴△ABC為直角三角形，∠C=90°，c=5，而|

CA

+

CB|

=5
（2）由（1）可知（a²-b²）（a²+b²-c²）=0．又∠C=60°，則a²+b²-c²≠0，
∴a=b．∴△ABC為等邊三角形，
設(shè)邊長(zhǎng)為x，則

3

4

x2=

3

∴x=2，
∴

AB

•

BC

+

BC•

CA

+

CA

•

AB

=-2-2-2=-6

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用．