Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

Acosx，

A

2

cos2x)（A＞0），函數(shù)f(x)=

m

•

n

的最大值為1．
（1）求A的值；
（2）設(shè)α，β∈[0，

π

2

]，f(

α

2

+

π

6

)=

3

5

，f(

β

2

+

5π

12

)=-

5

13

，求cos（α+β）的值；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先對f（x）進(jìn)行化簡，變?yōu)橐唤且缓瘮?shù)的形式，然后由其最大值可得A；
（2）由f(

α

2

+

π

6

)=

3

5

，可得cosα，由f(

β

2

+

5π

12

)=-

5

13

，可得sinβ，利用平方關(guān)系可得sinα，cosβ，再利用和角的余弦公式可得答案；
（3）先根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律求出g（x），然后由x的范圍求出g（x）的值域；

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x
=A(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=Asin(2x+

π

6

)，
因?yàn)閒（x）的最大值為1，所以A=1．
（2）由（1）得f(x)=sin(2x+

π

6

)，
f(

α

2

+

π

6

)=sin(α+

π

3

+

π

6

)=cosα=

3

5

，f(

β

2

+

5π

12

)=sin(β+

5π

6

+

π

6

)=-sinβ=-

5

13

，即sinβ=

5

13

，
因?yàn)?span id="7zhxy12" class="MathJye">α，β∈[0，

π

2

]，所以sinα=

4

5

，cosβ=

12

13

，
故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

3

5

×

12

13

-

4

5

×

5

13

=

16

65

．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位后得到y=sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]=sin(2x+

π

3

)的圖象；  
再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到y=sin(4x+

π

3

)的圖象．
因此g(x)=sin(4x+

π

3

)．
∵x∈[0，

5π

24

]，∴4x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

6

]，
故g（x）在[0，

5π

24

]上的值域[-

1

2

，1]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換、圖象變換及向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力．