Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=-2cosx（x∈[0，π]）與函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx有下列命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=

π

2

對(duì)稱；②函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線；
④若函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點(diǎn)Q處的切線，則直線PQ的斜率為

1

2-π

．其中正確的命題是

②③④

．（將所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：對(duì)于①，根據(jù)函數(shù)f（x）在對(duì)稱軸處取得最值作出判斷即可；
對(duì)于②，函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)g（x）在（e^-1，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
因?yàn)閒'（x）=2sinx≤2，又因?yàn)?span id="or4qtwj" class="MathJye">g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線；
同時(shí)要使函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點(diǎn)Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，這時(shí)可求得kPQ=

1

2-π

．
故可得結(jié)論

解答：解：對(duì)于①，根據(jù)函數(shù)f（x）在對(duì)稱軸處取得最值，可知①錯(cuò)；
對(duì)于②，函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∵g(e-1)=

1

2e2

-1＜0，g(1)=

1

2

＞0，
∴函數(shù)g（x）在（e^-1，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；
因?yàn)閒′（x）=2sinx≤2，又因?yàn)?span id="ohcfvpl" class="MathJye">g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線，③正確；
同時(shí)要使函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點(diǎn)Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，這時(shí)P(

π

2

，0)，Q(1，

1

2

)，所以kPQ=

1

2-π

，④也正確．
所以正確的命題是②③④
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題為載體，考查命題的真假，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查零點(diǎn)存在定理，知識(shí)綜合性強(qiáng)．