Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

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，過A作AE⊥CD，垂足為E，G，F(xiàn)分別為AD，CE的中點，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）求證：FG∥平面BCD；
（Ⅲ）在線段AE上找一點R，使得面BDR⊥面DCB，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中AE⊥CD，垂足為E，DE⊥EC．根據(jù)線面垂直的判定定理，我們可得DE⊥面ABCE．由線面垂直的定義，可得DE⊥BC，又由BC⊥CE，由線面垂直的判定定理，我們可以得到BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）取AB中點H，連接GH，F(xiàn)H，由三角形中位線定理，我們易得到GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，由面面平行的判定定理得到面FHG∥面BCD，再由面面平行的定義，得到FG∥平面BCD；
（Ⅲ）取BD中點Q，連接DR、BR、CR、CQ、RQ，根據(jù)已知中AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

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，我們易△BDR，求出RQ，解△CRQ，可得CQ⊥RQ，又由等腰△CBD中，Q為底邊BD的中點，得到CQ⊥BD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到結(jié)論．

解答：解：（I）如下圖所示：

由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC
∴DE⊥面ABCE．
∴DE⊥BC，又BC⊥CE，
∴BC⊥面DCE
（II）取AB中點H，連接GH，F(xiàn)H，
∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，
∴GH∥面BCD，F(xiàn)H∥面BCD．
∴面FHG∥面BCD，
∴GF∥面BCD．
（III）分析可知，R點滿足3AR=RE時，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取BD中點Q，連接DR、BR、CR、CQ、RQ
容易計算CD=2，BD=2

2

，CR=

13

2

，DR=

21

2

，CQ=

2

，
在△BDR中
∵BR=

5

2

，DR=

21

2

，BD=2

2

，可知RQ=

5

2

，
∴在△CRQ中，CQ²+RQ²=CR²，
∴CQ⊥RQ．
又在△CBD中，CD=CB，Q為BD中點
∴CQ⊥BD，
∴CQ⊥面BDR，
∴面BDC⊥面BDR．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面之間平行及垂直的判定定理、性質(zhì)定理、定義、幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．