Question

（1）一雙曲線以橢圓16x²+25y²=400的焦點為頂點，橢圓的長軸端點為焦點，求雙曲線的方程．
（2）若拋物線y²=2px（p＞0）上一點A到準線及對稱軸的距離分別為10和6，求A點的橫坐標及拋物線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的基本概念，不難得到雙曲線的頂點坐標和焦點坐標，再利用平方關(guān)系算出b的平方，即可得到所求雙曲線的方程．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），由拋物線上點A到對稱軸的距離為6，得|y₀|=6．由此結(jié)合拋物線的標準方程和定義，建立x₀和p的方程組，解之即可得到A點的橫坐標及拋物線的方程．

解答：解：（1）∵橢圓16x²+25y²=400的標準形式為

x2

25

+

y2

16

=1
∴橢圓的左右頂點坐標為（5，0）和（-5，0）
∵橢圓的半焦距c=

25-16

=3，
∴橢圓的焦點坐標為（3，0）和（-3，0）
∵雙曲線的焦點是橢圓和左右頂點，頂點是橢圓的左右焦點
∴雙曲線的b²=25-9=16，可得雙曲線的方程是：

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點A到對稱軸的距離為6，
∴設(shè)A（x₀，y₀），y₀²=2px₀且|y₀|=6，可得2px₀=36…（*）
∵點A到準線的距離為10，
∴x₀+

1

2

p=10，與（*）聯(lián)解，可得

x0=9 p=2

或

x0=1 p=18

由此可得A點的橫坐標為9，拋物線的方程是y²=4x；或A點的橫坐標為1，拋物線的方程是y²=36x．

點評：本題第1問考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)的知識；第2問考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)，兩題都屬于基礎(chǔ)題．