Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C、M，與BC交于點N），求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析：圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，等于一個以AC為底面半徑，以BC為高的圓錐的體積，減去一個一個以CN為直徑的球，根據(jù)已知中，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，代入公式即可得到答案．

解答：解：設(shè)半圓的半徑為r，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，
連接OM，則OM⊥AB，
設(shè)OM=r，則OB=2r，
因為BC=OC+OB，所以BC=3r，
即r=

3

3

．
AC=BC•tan30°=1．
陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為底面半徑AC=1，高BC=

3

的圓錐中間挖掉一個半徑r=

3

3

的球．
所以，V=V_圓錐-V_球=

1

3

•π•12•

3

-

4

3

•π•(

3

3

)3=

5 3

27

π．

點評：本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體的體積，其中根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義判斷出圖中幾何體的形狀是解答本題的關(guān)鍵．