Question

在實(shí)數(shù)集R上定義運(yùn)算：

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若，在的曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）.

（III）的曲線上不存的兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線點(diǎn)互相垂直.

【解析】

試題分析：（I）由新定義計(jì)算即得，關(guān)鍵是理解“新運(yùn)算”的意義；

（II）根據(jù)時(shí)，在減函數(shù)，得到對(duì)于恒成立，

即恒成立，得到.

屬于常規(guī)題目，難度不大，主要是注意應(yīng)用“轉(zhuǎn)化與化歸思想” .

（III）假定是曲線上的任意兩點(diǎn)，如果存在互相垂直的切線，則有

.因此，只需研究是否成立即可.

試題解析：（I）由題意，              2分

            4分

（II）∵，      6分

當(dāng)時(shí)，在減函數(shù)，

∴對(duì)于恒成立，即

恒成立，             8分

∵，

∴恒成立，

∴，

∴.                    9分

（III）當(dāng)時(shí)，，

設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，

∵，              11分

∴，

∴不成立.            12分

∴的曲線上不存的兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線點(diǎn)互相垂直.    13分

考點(diǎn)：新定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性