Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n+2a_n+1=0，且a₁=3
（I）求數(shù)列{a_n}的前7項(xiàng)和S₇；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}中：b_n=log₂

3

|an+1|

，求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前20項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=3，公比q=

an+1

an

=-

1

2

的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的前7項(xiàng)和S₇；
（2）由（1）推導(dǎo)出b_n=log₂

3

|an+1|

=n，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前20項(xiàng)和．

解答：解：（1）∵a_n+2a_n+1=0，且a₁=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=3，公比q=

an+1

an

=-

1

2

的等比數(shù)列，
∴S₇=

3×[1-(- 1 2 )7]

1-(- 1 2 )

=

129

64

．
（2）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=3，公比q=

an+1

an

=-

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=3×(-

1

2

)n-1，
∴b_n=log₂

3

|an+1|

=log2

3

|3×(- 1 2 )n|

=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前20項(xiàng)和T₂₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

20

-

1

21

=

20

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要熟練掌握等比數(shù)列的基本性質(zhì)，注意對(duì)數(shù)性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．