Question

曲線y=x³-2x+1在x=0處的切線與直線mx-y+2m-1=0的交點位于第一象限，則實數(shù)m的取值范圍是

（

2

5

，1）

．

Answer 1

分析：先求導數(shù)f′（x）=3x²-2，欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．又直線2x+y-1=0與坐標軸的兩個交點分別為：A（0，1），B（

1

2

，0），如圖．利用直線PA與PB的斜率，結(jié)合圖象即可求得切線與直線mx-y+2m-1=0的交點位于第一象限，實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：f′（x）=3x²-2，f'（0）=-2，f（0）=1（2分）
∴曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y-1=-2（x-0），即2x+y-1=0（4分）
直線mx-y+2m-1=0恒過定點P（-2，-1）
又直線2x+y-1=0與坐標軸的兩個交點分別為：A（0，1），B（

1

2

，0），如圖．
∴直線PA與PB的斜率分別為：1和

2

5

，
為了使得切線與直線mx-y+2m-1=0的交點位于第一象限，則實數(shù)m的取值范圍是（

2

5

，1）
故答案為：（

2

5

，1）．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、直線的交點等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．