Question

橢圓=1（a＞b＞0）中，弦PQ過(guò)左焦點(diǎn)F，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出P和Q及橢圓的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，分兩種情況：①當(dāng)PQ垂直于x軸時(shí)，把x=-c代入橢圓方程，求出|PF|的長(zhǎng)度，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，得到|OF|等于|FP|，即c等于|PF|列出關(guān)于a與c的方程，兩邊都除以e的平方后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，求出方程的解即可得到e的值；②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k，根據(jù)F（-c，0）和設(shè)出的k，寫(xiě)出直線(xiàn)PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理分別表示出P，Q橫坐標(biāo)之和及之積，然后表示出P，Q的縱坐標(biāo)之積，因?yàn)镺P⊥OQ，得到斜率乘積為-1，化簡(jiǎn)后得到P，Q的橫坐標(biāo)之積與縱坐標(biāo)之積的和為0，分別代入得到一個(gè)關(guān)于k，a和c的等式，解出k的平方的式子，由k的平方大于0列出關(guān)于a與c的不等式，變形后即可得到離心率e的取值范圍．綜上，得到所有滿(mǎn)足題意的橢圓的離心率e的取值范圍．
解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F(xiàn)（-c，0），
分兩種情況：①若PQ⊥x軸時(shí)，
∵|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，
∴|OF|=|FP|，
∴，即ac=a²-c²，即e²+e-1=0，
∴e＞0，解得：；
②若PQ不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PQ：y=k（x+c），
代入得：（b²+a²k²）x²+2k²a²cx+k²a²c²-a²b²=0，
∵，
∴y₁y₂=k²（x₁+c）（x₂+c）=k²[x₁x₂+c（x₁+x₂）+c²]
=
=，
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²a²c²-a²b²-k²b⁴=0，
∴k²=＞0，
∴a²c²＞b⁴=（a²-c²）²
∴，
綜上：．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的關(guān)系化簡(jiǎn)求值，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．