Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，已知復(fù)數(shù)z₁=3+2sinA•i，z₂=sinA+（1+cosA）i（i是虛數(shù)單位），它們對(duì)應(yīng)的向量依次為

OZ1

、

OZ2

，且滿足

OZ1

∥

OZ2

，

7

(c-b)=a．
（1）求∠A的值；
（2）求cos(C-

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)向量平行，得到2cos²A+3cosA+1=0，求出cosA的值，即可求∠A的值；
（2）通過(guò)

7

(c-b)=a．利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，求出sin(C-

π

6

)=

7

14

，根據(jù)角的范圍，求cos(C-

π

6

)的值．

解答：解（1）由已知，

OZ1

=(3，2sinA)，

OZ2

=(sinA，1+cosA)，（2分）
∵

OZ1

∥

OZ2

，∴3（1+cosA）-2sin²A=0．
2cos²A+3cosA+1=0，（4分）
cosA=-1（舍去）或cosA=-

1

2

．
∵A∈(0，π)，A=

2π

3

．（6分）

（2）∵

7

(c-b)=a，
∴由正弦定理，得

7

(sinC-sinB)=sinA=

3

2

，（9分）
sinC-sin(

π

3

-C)=

21

14

，

3

sin(C-

π

6

)=

21

14

，sin(C-

π

6

)=

7

14

，（12分）
∵0＜C-

π

6

＜

π

2

，∴cos(C-

π

6

)=

1- 1 28

=

27 28

=

3 21

14

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題利用向量的平行關(guān)系，考查三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)，考查正弦定理的應(yīng)用，計(jì)算能力的考查是三角函數(shù)近年高考的特征．