Question

已知二次函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f（x+2）=f（-x+2），又f（0）=3，f（2）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由題意設(shè)f（x）=ax²+bx+c，再結(jié)合f（2+x）=f（2-x）得到x=2是對(duì)稱軸，從而建立a，b，c的關(guān)系式，即可求得a，b，c．最后寫出函數(shù)f（x）的解析式即可；
（2）由于對(duì)稱軸為x=2，且f（2）=1，得到f（0）=f（4）=3，從而有：2≤m≤4，即m的取值范圍為[2，4]．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c
∵f（2+x）=f（2-x）
∴x=2是對(duì)稱軸
故-

b

2a

=2f（0）=c=3f（2）=4a+2b+c=1
∴a=

1

2

    b=-2
∴f(x)=

1

2

x2-2x+3
（2）∵對(duì)稱軸為x=2，且f（2）=1
∴f（0）=f（4）=3，為了使得f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，
∴2≤m≤4
∴m的取值范圍為[2，4]．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．