Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐中，側(cè)棱平面，底面是平行四邊形，，，，分別是的中點．

（1）求證：平面

（2）當平面與底面所成二面角為時，求二面角的大小．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：

（1）證明：∵平面，∴的射影是，的射影是，

∵∴∴，且，

∴是直角三角形，且，…………………………………3分

 

∴，∵平面，∴，

且，∴平面………………………………………6分

（2）解法1：由（1）知，且是平行四邊形，可知，

又∵平面，由三垂線定理可知，，

又∵由二面角的平面角的定義可知，是平面與底面所成二面角，故，故在中，，∴，，

 

從而又在中，，

 

∴在等腰三角形，分別取中點和中點，連接，和，

∴中位線，且平面，∴平面，

在中，中線，由三垂線定理知，，

為二面角的平面角，

在中，，，

 

，，

 

∴二面角的大小為.

 

解法2：由(Ⅰ)知，以點為坐標原點，以、、

所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)，則，，，，

，，，

 

則，，

設(shè)平面的一個法向量為,

則由

 

又是平面的一個法向量，

平面與底面所成二面角為

 

，解得，

 

設(shè)平面的一個法向量為,

則由.

 

又是平面的一個法向量，

設(shè)二面角的平面角為，則

，∴ ∴

 

∴二面角的大小為.…………………….…….……12分

 

【解析】略