Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）在(-

π

12

，

π

2

)上的值域．
（3）若A∈(-

π

12

，

π

2

)，且f(A)=

3

，求A．

Answer 1

分析：先對函數(shù)f（x）化簡，將其整理成f（x）=2sin（2x-

π

6

）
（1）由周期公式及ω=2，周期易求；由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解出x的取值范圍即得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈(-

π

12

，

π

2

)，有-

π

3

＜2x- 

π

6

＜

5π

6

，然后求出sin（2x-

π

6

）的范圍，進(jìn)而可求
（3）由f(A)=2sin(2A-

π

6

)=

3

，結(jié)合A的范圍可得2A-

π

6

=

π

3

或2A-

π

6

=

2π

3

，可求A

解答：解：（1）∵f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

=2

3

sin2(x+

π

4

)-cos2x-

3

=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
故函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

(k∈Z)
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

](k∈Z)．       
（2）當(dāng)x∈(-

π

12

，

π

2

)，有-

π

3

＜2x- 

π

6

＜

5π

6

故sin(2x-

π

6

)∈(-

3

2

，1]．
所以f（x）在(-

π

12

，

π

2

)上的值域是(-

3

，2]．
（3）若A∈(-

π

12

，

π

2

)，2A-

π

6

∈(-

π

3

，

5π

6

)
∵f(A)=2sin(2A-

π

6

)=

3

，
∴sin(2A-

π

6

)=

3

2

∴2A-

π

6

=

π

3

或2A-

π

6

=

2π

3

解得A=

π

4

或A=

5π

12

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角恒等變換公式，利用公式進(jìn)行化簡，熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)也很關(guān)鍵．