Question

已知雙曲線x²-

y2

2

=1與點P（1，2），過P點作直線l與雙曲線交于A、B兩點，若P為AB中點．
（1）求直線AB的方程；
（2）若Q（1，1），證明不存在以Q為中點的弦．

Answer 1

分析：（1）設出過P（1，2）點的直線AB方程，然后代入雙曲線方程，利用設而不求韋達定理求出k的值，求出AB的方程即可．
（2）按照（1）的方法，求出k=2，此時，△＜0，所以這樣的直線不存在．

解答：解：（1）設過P（1，2）點的直線AB方程為y-2=k（x-1），
代入雙曲線方程得
（2-k²）x²+（2k²-4k）x-（k⁴-4k+6）=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=-

2k2-4k

2-k2

，
由已知

x1+x2

2

=x_p=1，
∴

2k2-4k

k2-2

=2．解得k=1．
又k=1時，△=16＞0，從而直線AB方程為x-y+1=0．
（2）證明：按同樣方法求得k=2，
而當k=2時，△＜0，
所以這樣的直線不存在．

點評：本題考查雙曲線的運用，以及直線的一般式，通過直線與雙曲線的方程的聯(lián)立，通過設而不求韋達定理解題，屬于中檔題．