Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為其右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P（不同于A(yíng)，B），與橢圓在點(diǎn)B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)D．當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可得a=2，c=1，由a²=b²+c²，求出b，進(jìn)而求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）先設(shè)出直線(xiàn)l的方程，根據(jù)題意，表示出D、E的坐標(biāo)，從而求出以BD為直徑的圓的圓心和半徑，再將l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到交點(diǎn)A、P的坐標(biāo)關(guān)系，因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)已知，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后分直線(xiàn)PF斜率存在和不存在兩種情況討論直線(xiàn)PF與以BD為直徑的圓的位置關(guān)系即可．
解答：解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C的方程為，半焦距為c，
因?yàn)锳（-2，0）、B（2，0）為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為其右焦點(diǎn)，
所以a=2，c=1．又因?yàn)閍²=b²+c²，所以．
故橢圓C的方程為，離心率為．（5分）
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切．
證明如下：
由題意可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+2）（k≠0），
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2k）．
由得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則．
所以，．
因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，±2），
直線(xiàn)PF⊥x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓（x-2）²+（y?1）²=1與直線(xiàn)PF相切．
當(dāng)時(shí)，則直線(xiàn)PF的斜率．
所以直線(xiàn)PF的方程為．
點(diǎn)E到直線(xiàn)PF的距離=．
又因?yàn)閨BD|=4|k|所以．
故以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切．
綜上得，當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意運(yùn)用方程思想、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧．