Question

已知正方形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖所示．設二面角A-DE-C的大小為90°．
（1）證明：BF∥平面ADE；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，求三棱錐A-CDE的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ADE內(nèi)找到與直線BF平行的直線就可以了，易證四邊形EBFD為平行四邊形；
（2）利用題中直二面角得出直角三角形ADE斜邊DE上的高即為三棱錐A-CDE的高，又可求出三棱錐A-CDE的底面三角形CDE的面積，根據(jù)棱錐的體積公式即可得出三棱錐A-CDE的體積．

解答：解：（1）證明：EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點，
∵EB∥FD，且EB=FD，
∴四邊形EBFD為平行四邊形．
∴BF∥ED
∵ED?平面AED，而BF?平面AED
∴BF∥平面ADE．
（2）∵二面角A-DE-C的大小為90°
∴直角三角形ADE斜邊DE上的高即為三棱錐A-CDE的高，
而直角三角形ADE斜邊DE上的高h=

AD•AE

DE

=

2×1

5

=

2 5

5

又三棱錐A-CDE的底面三角形CDE的面積為S=

1

2

×2×2=2，
∴三棱錐A-CDE的體積V=

1

3

Sh=

4 5

15

．

點評：本小題考查空間中的線面關系，棱柱、棱錐、棱臺的體積，解三角形等基礎知識考查空間想象能力和思維能力．