Question

記關(guān)于x的不等式1-

a+1

x+1

＜0的解集為P，不等式|x+2|＜3的解集為Q
（1）若a=3，求P；
（2）若P∪Q=Q，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=3時，分式不等式可化為

x-3

x-1

＜0，結(jié)合分式不等式解法的結(jié)論，即可得到解集P；
（2）由含有絕對值不等式的解法，得Q=（-5，1）．根據(jù)a是正數(shù)，得集合P═（-1，a），并且集合P是Q的子集，由此建立不等式關(guān)系，即可得到正數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）a=3時，1-

a+1

x+1

＜0即1-

4

x+1

＜0，化簡得

x-3

x-1

＜0
∴集合P={x|

x-3

x+1

＜0}，根據(jù)分式不等式的解法，解得-1＜x＜3
由此可得，集合P=（-1，3）．
（2）Q={x||x+2|＜3}={x|-3＜x+2＜3}={x|-5＜x＜1}
可得Q=（-5，1）
∵a＞0，∴P={x|

x-a

x+1

＜0}=（-1，a），
又∵P∪Q=Q，得P⊆Q，
∴（-1，a）⊆（-5，1），由此可得0＜a≤1
即正數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點評：本題給出分式不等式和含有絕對值的不等式，求兩個解集并討論它們的包含關(guān)系，著重考查了分式不等式的解法、含有絕對值的不等式的解法和集合包含關(guān)系的運(yùn)算等知識，屬于基礎(chǔ)題．