Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當(dāng)時(shí)，有最小值，無最大值；

（2）若在區(qū)間上方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)，求，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間，極小值，即可證明結(jié)論；

（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，令，求與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的范圍，通過求導(dǎo)求出在單調(diào)區(qū)間，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.

（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)恒成立，

當(dāng)，單調(diào)遞增，，

所以存在的，使得，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，

當(dāng)時(shí)，，

所以有最小值，無最大值；

（2）方程恰有一實(shí)根，

恰有一實(shí)根，

與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

，

令或，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，即極大值為，

極小值為，

做出在上的圖象，如下圖所示，

又與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

的取值范圍是.