Question

已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1經(jīng)過(guò)A（1，0）點(diǎn)，且離心率為

3

2

．
（I）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）過(guò)拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上P點(diǎn)的切線與橢圓C₁交于兩點(diǎn)M、N，記線段MN與PA的中點(diǎn)分別為G、H，當(dāng)GH與y軸平行時(shí)，求h的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1經(jīng)過(guò)A（1，0）點(diǎn)，且離心率為

3

2

，建立方程，即可求得橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（t，t²+h），利用導(dǎo)數(shù)可得MN的方程為 y=2tx-t²+h，代入橢圓方程，消元可得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，從而△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0；設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用線段MN與PA的中點(diǎn)分別為G、H，GH與y軸平行，可得MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)與線段PA的中點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，可建立等式，從而可得函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得

1 b2 =1 c a = 3 2 a2=b2+c2.

，解得a=2，b=1，（2分）
所以橢圓C₁的方程為 x2+

y2

4

=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（t，t²+h），由 y′=2x，
拋物線C₂在點(diǎn)P處的切線的斜率為 k=y′|_x=t=2t，
所以MN的方程為 y=2tx-t²+h，（5分）
代入橢圓方程得 4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
化簡(jiǎn)得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0
又MN與橢圓C₁有兩個(gè)交點(diǎn)，故△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，則x0=

x1+x2

2

=

t(t2-h)

2(1+t2)

，（8分）
設(shè)線段PA的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x3=

1+t

2

，
由已知得x₀=x₃即 

t(t2-h)

2(1+t2)

=

1+t

2

，②（10分）
顯然t≠0，h=-(t+

1

t

+1)③
當(dāng)t＞0時(shí)，t+

1

t

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)h≤-3不符合①式，故舍去；
當(dāng)t＜0時(shí)，(-t)+(-

1

t

)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)h≥1，滿足①式．
綜上，h的最小值為1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查函數(shù)關(guān)系式的建立，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)關(guān)系式，屬于中檔題．