Question

已知函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a＞0且bc≠0).

(1)若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,試求f(x)的解析式;

(2)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的圖象在x軸上截得的弦的長度為l,且0＜l≤2,試確定c-b的符號.

Answer 1

剖析:對于(1),條件|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1給出了a、b、c間的關系,對它們進行分析、變形可求出a、b、c的值;對于(2),條件g(1)=0給出了a、b間的關系,條件0＜l≤2可給出a、c間的關系,而a＞0,故c-b的符號可判斷.

解:(1)由已知|f(1)|=|f(-1)|,有|a+b+c|=|a-b+c|,得(a+b+c)²=(a-b+c)².

    可得4b(a+c)=0.

    因為bc≠0,所以b≠0.

    所以a+c=0.

    又由a＞0,有c＜0.

    因為|c|=1,所以c=-1,a=1,|b|=1.

    所以f(x)=x²±x-1.

    (2)g(x)=2ax+b,由g(1)=0,有2a+b=0,b＜0.

    設方程f(x)=0的兩根為x₁、x₂,則x₁+x₂=-=2,x₁·x₂=.

    所以|x₁-x₂|=.

    由已知0＜|x₁-x₂|≤2,所以0≤＜1.

    又因為a＞0,bc≠0,

    所以c＞0.所以c-b＞0.

講評:題目的條件由絕對值給出,給題目的解答帶來了一定難度.解題過程中,要注意變量的取值范圍,這一點正是處理函數(shù)問題要注意的.