Question

四棱錐P-ABCD的底面ABCD是一個矩形，PA⊥平面ABCD，已知AB=2，BC=4，M是PB的中點，向量

CM

與

BD

夾角的大小為π-arccos

14

5

．求這個四棱錐的體積．

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算求出PA，再由公式V _P-ABCD=

1

3

S _ABCD×PA 求出即可．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)PA=2a則P（0，0，2a），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（1，0，a）
向量

CM

=（-1，-4，a）

BD

=（-2，4，0），∴cos＜

CM

，

BD

＞=

CM • BD

| CM |× | BD|

∴

-14

17+a2 ×2 5

=-

14

5

．解得a=

2

2

，PA=

2

．
∴V _P-ABCD=

1

3

S _ABCD×PA=

1

3

×8×

2

．=

8 2

3

點評：本題考查向量及夾角的運算，幾何體體積計算，考查空間想象、計算轉(zhuǎn)化能力．