Question

（2012•北京模擬）已知平面上的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，其中A（-2，0），B（2，0），D（x，y），如果|

AC

|=2，

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)．
求證：x²+y²=1．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（x₀，y₀）．可從兩種方向表示出向量

AD

的坐標(biāo)，可得解得

x0=2x-2 y0=2y

，又由|

AC

|=

(x0+2)2+ y 2 0

=2，代入化簡(jiǎn)消去x₀，y₀可得方程．

解答：解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（x₀，y₀）．
則

AC

=(x0+2，y0)，

AB

=(4，0)．
則

AB

+

AC

=(x0+6，y0)．
因?yàn)?span id="xkgdvhr" class="MathJye">

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)=(

x0

2

+3，

y0

2

)，且

AD

=(x+2，y)，
故

x0 2 +3=x+2 y0 2 =y

解得

x0=2x-2 y0=2y

代入模長(zhǎng)公式|

AC

|=

(x0+2)2+ y 2 0

=2，可得（2x）²+（2y）²=4，
整理可得x²+y²=1．
故原命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用坐標(biāo)表示平面向量的加法運(yùn)算，用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題．